Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

07/04/2016 | 365 | Thanh Tâm | Toán 10

Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A > B...

1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A > B, A < B, A B, A B, trong đó A, B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề: "A < B => C < D" là mệnh đề đúng thì ta bảo bất đẳng thức C < D là hệ quả của bất đẳng thức A < B.

Nếu "A < B => C < D" và "C < D => A < B" là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức A < B và C < D tương đương, kí hiệu là A < B <=> C < D.

2. Các tính chất của bất đẳng thức.

TC1. ( Tính chất bắc cầu)

        Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

TC2. (Quy tắc cộng)

        A < B <=> A + C < B + C

TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều)

        Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

TC4. (Quy tắc nhân)

        Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

         Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức)

         Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)

Với A, B > 0, n ∈ N* ta có:

                     A < B <=> An < Bn

                      A < B <=> Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức.

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)

Ta gọi Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức là trung bình cộng của hai số a, b.

Tổng quát trung bình cộng của n số a1, a2,…, an là

                      Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

Trung binh nhân của hai số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 là Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức

Trung bình nhân của n số không âm a≥ 0, a2 ≥ 0,…, an ≥ 0 là

                      Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức                   

Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:

                      Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức     ∀a, b ≥ 0.

Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b.

Người ta cũng có: 

                   Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức    ∀a, b, c ≥ 0.

                   Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức   ∀ a1, a2,…, an ≥ 0.

Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có các bất đẳng thức sau:

                |a + b| ≤ |a| + |b|      ∀a, b ∈ R

Dấu "=" chỉ xảy ra khi ab

                |x| ≤ a <=> - a ≤ x ≤ a     ∀a > 0

                |x| ≥ a <=> Học tốt Lý thuyết bất đẳng thức